Теорема косинусов: формула, доказательство и примеры решения

Что такое теорема косинусов — определение и формулировка

Теорема косинусов — это одна из главных теорем геометрии, которая помогает разбираться с треугольниками любого типа. Если теорема Пифагора работает только для прямоугольных треугольников, то теорема косинусов универсальна: она применима к любому треугольнику — остроугольному, прямоугольному и тупоугольному.

Формулировка теоремы: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Проще говоря, теорема косинусов — это «усовершенствованная» теорема Пифагора. Она добавляет поправочный член, который учитывает, насколько угол между сторонами отличается от прямого.

Формула теоремы косинусов для всех сторон треугольника

Для треугольника со сторонами a, b, c и углами α, β, γ (противолежащими соответствующим сторонам) теорема косинусов записывается в трёх вариантах — по одному для каждой стороны:

a² = b² + c² − 2bc × cos α

b² = a² + c² − 2ac × cos β

c² = a² + b² − 2ab × cos γ

Все три формулы работают одинаково, просто в каждой мы выражаем разную сторону.

Известные данные	Какую формулу использовать	Что находим
Стороны b, c и угол α между ними	a² = b² + c² − 2bc × cos α	Сторону a
Стороны a, c и угол β между ними	b² = a² + c² − 2ac × cos β	Сторону b
Стороны a, b и угол γ между ними	c² = a² + b² − 2ab × cos γ	Сторону c

История возникновения теоремы (Евклид, ал-Баттани, Региомонтан, Виет)

История теоремы косинусов насчитывает более двух тысяч лет. Интересно, что в разные эпохи математики формулировали её по-разному, не используя современные обозначения.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы Евклидом для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» (около 300 г. до н. э.). Правда, алгебраической символики тогда не существовало — всё выражалось через геометрические построения.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях средневекового астронома и математика ал-Баттани (858—929), который использовал эти соотношения для астрономических расчётов.

Региомонтан (1436—1476) сформулировал теорему косинусов для сферического треугольника в привычном виде, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани. Его труд «О всех видах треугольников» стал первым в Европе сочинением, где тригонометрия рассматривалась как самостоятельная дисциплина.

В XVI веке французский математик Франсуа Виет популяризовал эту теорему, используя её для решения практических задач.

Доказательство теоремы косинусов (классическое через высоту)

Давай докажем теорему косинусов для треугольника ABC со сторонами a, b, c, где нужно найти сторону a, зная стороны b, c и угол α между ними.

Ход доказательства:

1. Из вершины C опускаем высоту CD на сторону AB (или на её продолжение, если угол тупой).

2. Из прямоугольного треугольника ADC находим:

• AD = b × cos α
• CD = b × sin α

3. Тогда BD = a − AD = a − b × cos α (для острого угла) или BD = a + b × cos α (для тупого).

4. Применяем теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ADC и BDC:

CD² = b² − AD² (из треугольника ADC)

CD² = c² − BD² (из треугольника BDC)

5. Приравниваем правые части:

b² − AD² = c² − BD²

6. Подставляем значения AD = b × cos α и BD = a − b × cos α:

b² − b² × cos² α = c² − (a − b × cos α)²

7. Раскрываем скобки и упрощаем:

b² − b² × cos² α = c² − a² + 2ab × cos α − b² × cos² α

8. Сокращаем −b² × cos² α с обеих сторон:

b² = c² − a² + 2ab × cos α

9. Переносим всё в левую часть:

a² = b² + c² − 2bc × cos α

Доказано!

Доказательство через координаты

Ещё один красивый способ доказать теорему косинусов — использовать координаты. Этот метод короче и нагляднее.

Идея: Поместим треугольник ABC в систему координат так, чтобы вершина A была в начале координат, а сторона AB лежала на оси x.

Координаты вершин:

• A(0, 0)
• B(c, 0)
• C(b × cos α, b × sin α)

Теперь найдём расстояние BC (сторону a) по формуле расстояния между точками:

a² = (b × cos α − c)² + (b × sin α − 0)²

Раскрываем скобки:

a² = b² × cos² α − 2bc × cos α + c² + b² × sin² α

Группируем члены с b²:

a² = b²(cos² α + sin² α) + c² − 2bc × cos α

Используем основное тригонометрическое тождество cos² α + sin² α = 1:

a² = b² + c² − 2bc × cos α

Получили теорему косинусов!

Доказательство через векторы

Векторный способ — самый элегантный из всех. Он использует свойства скалярного произведения векторов.

Дано: Треугольник ABC со сторонами a, b, c.

Обозначим векторы: CB = a⃗, CA = b⃗, AB = c⃗.

По правилу треугольника: a⃗ = c⃗ − b⃗

Возведём обе части в квадрат (найдём скалярное произведение вектора на самого себя):

a⃗² = (c⃗ − b⃗)² = c⃗² + b⃗² − 2(c⃗ × b⃗)

Вспоминаем, что скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними:

(c⃗ × b⃗) = |c⃗| × |b⃗| × cos α = b × c × cos α

Подставляем:

a² = b² + c² − 2bc × cos α

Готово! Векторное доказательство — самое быстрое.

Связь с теоремой Пифагора (частный случай)

Теорема косинусов становится теоремой Пифагора, когда угол между сторонами — прямой.

Вспомним формулу: a² = b² + c² − 2bc × cos α

Если α = 90°, то cos 90° = 0. Подставляем:

a² = b² + c² − 2bc × 0

a² = b² + c²

Это и есть теорема Пифагора! Получается, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов для прямоугольных треугольников.

Следствия теоремы косинусов

Из теоремы косинусов вытекает важное следствие: мы можем найти угол треугольника, зная все три стороны.

Из формулы a² = b² + c² − 2bc × cos α выражаем косинус угла:

cos α = (b² + c² − a²) / (2bc)

Аналогично для других углов:

cos β = (a² + c² − b²) / (2ac)

cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab)

Эти формулы позволяют полностью решить треугольник, если известны три его стороны.

Когда применяется теорема косинусов

Теорему косинусов используют в двух основных ситуациях:

Ситуация 1: Известны две стороны треугольника и угол между ними. Нужно найти третью сторону.

Ситуация 2: Известны все три стороны треугольника. Нужно найти углы.

Что известно	Что ищем	Какой метод
Две стороны + угол между ними	Третья сторона	Теорема косинусов напрямую
Три стороны	Углы	Следствие из теоремы косинусов
Две стороны + угол НЕ между ними	Остальные элементы	Лучше использовать теорему синусов

Как найти сторону треугольника через теорему косинусов

Разберём пошагово, как найти неизвестную сторону треугольника.

Алгоритм:

Шаг 1. Определи, какую сторону нужно найти. Обозначь её буквой a.

Шаг 2. Запиши формулу: a² = b² + c² − 2bc × cos α, где α — угол, противолежащий стороне a.

Шаг 3. Подставь известные значения сторон b, c и угла α.

Шаг 4. Вычисли a², затем извлеки квадратный корень: a = √(b² + c² − 2bc × cos α).

Как найти угол треугольника через теорему косинусов

Если известны все три стороны треугольника, можно найти любой угол.

Алгоритм:

Шаг 1. Определи, какой угол нужно найти. Обозначь его α.

Шаг 2. Запиши формулу следствия: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc), где a — сторона, противолежащая углу α.

Шаг 3. Подставь известные значения сторон.

Шаг 4. Вычисли значение косинуса.

Шаг 5. Найди угол: α = arccos(значение) с помощью калькулятора или таблицы Брадиса.

Определение типа угла (острый, прямой, тупой)

По теореме косинусов можно определить тип угла, не вычисляя его точное значение. Это удобно для быстрой проверки.

Используем формулу: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc)

Если b² + c² − a² > 0, то cos α > 0 → угол α острый (меньше 90°)

Если b² + c² − a² = 0, то cos α = 0 → угол α прямой (равен 90°)

Если b² + c² − a² < 0, то cos α < 0 → угол α тупой (больше 90°)

Условие	Знак косинуса	Тип угла
b² + c² > a²	cos α > 0	Острый (< 90°)
b² + c² = a²	cos α = 0	Прямой (= 90°)
b² + c² < a²	cos α < 0	Тупой (> 90°)

Примеры решения простых задач с пошаговым разбором

Задача 1. В треугольнике две стороны равны 7 см и 10 см, угол между ними 45°. Найди третью сторону.

Решение:

Дано: b = 7 см, c = 10 см, α = 45°

Найти: a = ?

a² = 7² + 10² − 2 × 7 × 10 × cos 45°

a² = 49 + 100 − 140 × (√2/2)

a² = 149 − 70√2 ≈ 149 − 98,99 = 50,01

a ≈ 7,07 см

Ответ: ≈ 7,07 см

Задача 2. Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 6 см. Найди косинус наименьшего угла.

Решение:

Наименьший угол лежит напротив наименьшей стороны (4 см).

cos α = (5² + 6² − 4²) / (2 × 5 × 6)

cos α = (25 + 36 − 16) / 60

cos α = 45/60 = 3/4 = 0,75

Ответ: cos α = 0,75

Задача 3. Проверь, является ли треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см прямоугольным.

Решение:

Наибольшая сторона 13 см. Проверим: 5² + 12² = 13²?

25 + 144 = 169

Равенство выполняется, значит, угол напротив стороны 13 см — прямой.

Ответ: Да, треугольник прямоугольный.

Примеры решения сложных задач

Задача 4. В треугольнике ABC сторона AB = 10 см, AC = 14 см, угол A = 75°. Найди BC и все углы треугольника.

Решение:

Шаг 1. Находим сторону BC по теореме косинусов:

BC² = 10² + 14² − 2 × 10 × 14 × cos 75°

BC² = 100 + 196 − 280 × 0,2588 ≈ 296 − 72,46 = 223,54

BC ≈ 14,95 см

Шаг 2. Находим угол B (напротив стороны AC = 14):

cos B = (10² + 14,95² − 14²) / (2 × 10 × 14,95)

cos B = (100 + 223,5 − 196) / 299 ≈ 127,5/299 ≈ 0,426

B ≈ arccos(0,426) ≈ 64,8°

Шаг 3. Находим угол C:

C = 180° − 75° − 64,8° = 40,2°

Ответ: BC ≈ 14,95 см, угол B ≈ 64,8°, угол C ≈ 40,2°

Задача 5. Самолёт пролетел 200 км на север, затем повернул на 120° и пролетел ещё 150 км. На каком расстоянии он от начальной точки?

Решение:

Образуется треугольник: две стороны 200 км и 150 км, угол между ними 180° − 120° = 60°.

d² = 200² + 150² − 2 × 200 × 150 × cos 60°

d² = 40000 + 22500 − 60000 × 0,5

d² = 62500 − 30000 = 32500

d ≈ 180,3 км

Ответ: ≈ 180,3 км от начальной точки

Задачи на нахождение медианы через теорему косинусов

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Теорема косинусов помогает найти длину медианы.

Формула для медианы: Если в треугольнике ABC медиана m_a проведена к стороне a, то:

m_a² = (2b² + 2c² − a²) / 4

Эта формула выводится через теорему косинусов, примененную к двум треугольникам, образованным медианой.

Теорема косинусов и теорема синусов — сравнение и совместное применение

Теорема косинусов и теорема синусов — два главных инструмента для решения треугольников. Они дополняют друг друга.

Теорема синусов: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R, где R — радиус описанной окружности.

Критерий	Теорема косинусов	Теорема синусов
Когда использовать	Известны две стороны и угол между ними, или три стороны	Известны два угла и сторона, или две стороны и угол напротив одной из них
Что находим	Третью сторону или углы	Недостающие стороны или углы
Вычисления	Квадраты и корни	Синусы и пропорции

Совместное применение: Часто задачи требуют использования обеих теорем. Например, сначала находим третью сторону по теореме косинусов, затем углы — по теореме синусов.

Обобщения: теорема косинусов в сферической геометрии

Теорема косинусов работает не только на плоскости, но и на сфере — например, на поверхности Земли или небесной сферы.

Для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C существуют две теоремы косинусов, двойственные по отношению друг к другу:

Первая теорема косинусов (для сторон):

cos a = cos b × cos c + sin b × sin c × cos A

Вторая теорема косинусов (для углов):

cos A = −cos B × cos C + sin B × sin C × cos a

Эти формулы используются в навигации, астрономии и картографии для расчёта расстояний на Земле и углов между звёздами на небесной сфере.

Обобщения: соотношение Бретшнайдера для четырёхугольника

Соотношение Бретшнайдера — это аналог теоремы косинусов для четырёхугольника. Оно связывает стороны, диагонали и углы.

Формула: Для простого (несамопересекающегося) четырёхугольника с сторонами a, b, c, d, диагоналями e, f и противоположными углами α и γ:

e² × f² = a² × c² + b² × d² − 2abcd × cos(α + γ)

Если четырёхугольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), получается теорема Стюарта. Если D — центр описанной окружности треугольника ABC, получается теорема косинусов для треугольника.

Это красивое обобщение показывает, как теорема косинусов распространяется на более сложные фигуры.

Типичные ошибки при применении теоремы

Ошибка 1: Путаница между углом при вершине и противолежащим углом.

Как избежать: Запомни: в формуле a² = b² + c² − 2bc × cos α угол α лежит МЕЖДУ сторонами b и c, напротив стороны a.

Ошибка 2: Забывают извлекать квадратный корень в конце.

Как избежать: Формула даёт a², а не a. Не забудь в конце найти a = √(…).

Ошибка 3: Неправильный знак перед 2bc × cos α.

Как избежать: В теореме косинусов ВСЕГДА стоит МИНУС: − 2bc × cos α. Это не зависит от типа треугольника.

Ошибка 4: Используют теорему косинусов, когда проще применить теорему синусов.

Как избежать: Если известны два угла и сторона — используй теорему синусов, она проще.

Практические задачи для самостоятельного решения

Задача 1 (базовый уровень): В треугольнике две стороны равны 6 см и 9 см, угол между ними 120°. Найди третью сторону.

Задача 2 (базовый уровень): Стороны треугольника равны 7, 8 и 9 см. Найди косинус наибольшего угла.

Задача 3 (средний уровень): В треугольнике ABC сторона AB = 12 см, BC = 15 см, угол B = 60°. Найди AC и остальные углы.

Задача 4 (средний уровень): Проверь, может ли существовать треугольник со сторонами 5, 7 и 13 см. Если да, определи тип наибольшего угла.

Задача 5 (высокий уровень): Турист прошёл 8 км на восток, затем повернул на 135° и прошёл ещё 6 км. На каком расстоянии он от начальной точки?

Задача 6 (ЕГЭ): В треугольнике со сторонами 10, 12 и 14 см найди длину медианы, проведённой к стороне 14 см.

Онлайн-калькулятор для расчёта по теореме косинусов

Для быстрой проверки решений или расчётов в реальных задачах можно использовать онлайн-калькуляторы:

• Калькулятор сторон треугольника — вводишь две стороны и угол между ними, получаешь третью сторону
• Калькулятор углов треугольника — вводишь три стороны, получаешь все углы
• Решатель треугольников — вводишь любые три известных элемента (стороны или углы), получаешь все остальные

Популярные ресурсы:

• PlanetCalc.ru — бесплатные калькуляторы по геометрии
• OnlineMSchool.com — решение треугольников с подробными пояснениями
• Math24.net — интерактивные калькуляторы с формулами

Эти инструменты полезны для:

• Проверки домашних заданий
• Строительных и инженерных расчётов
• Подготовки к контрольным и экзаменам

FAQ — часто задаваемые вопросы

В чём разница между теоремой косинусов и теоремой Пифагора?

Теорема Пифагора работает только для прямоугольных треугольников. Теорема косинусов — это её обобщение на любые треугольники. При угле 90° теорема косинусов превращается в теорему Пифагора.

Можно ли использовать теорему косинусов для тупоугольного треугольника?

Да! Теорема косинусов универсальна и работает для остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников. Просто косинус тупого угла будет отрицательным.

Как быстро запомнить формулу теоремы косинусов?

Запомни фразу: «Квадрат стороны = сумма квадратов двух других минус два их произведения на косинус угла между ними». Или думай о ней как о «теореме Пифагора с поправкой».

Когда использовать теорему косинусов, а когда — теорему синусов?

Теорему косинусов — если известны две стороны и угол между ними, или три стороны. Теорему синусов — если известны два угла и сторона.

Что делать, если косинус угла получился больше 1 или меньше −1?

Это означает ошибку в вычислениях или что такой треугольник не существует. Проверь данные задачи и расчёты.

Нужно ли знать теорему косинусов для ЕГЭ?

Да, теорема косинусов входит в программу ЕГЭ по математике (профильный уровень). Она часто встречается в задачах по планиметрии и стереометрии.

Работает ли теорема косинусов в пространстве?

Да, в пространстве теорема косинусов применяется к треугольникам на плоскости, а также существуют её обобщения для сферической и гиперболической геометрии.