Арифметическая прогрессия: формулы, примеры и задачи ОГЭ 2026

Что такое арифметическая прогрессия и зачем она нужна

Арифметическая прогрессия — это одна из фундаментальных тем школьной математики, которая напрямую связана с реальной жизнью. Если вы откладываете каждый месяц на 1000 рублей больше, чем в предыдущем, планируете график тренировок с постепенным увеличением дистанции или анализируете схему погашения кредита равными платежами — вы имеете дело с арифметической прогрессией.

В ОГЭ 2026 по математике арифметическая прогрессия встречается в задании №14, которое проверяет умение работать с последовательностями. За правильное решение вы получаете 2 балла, что может стать решающим для итоговой оценки. Задачи на прогрессии также встречаются в практико-ориентированных заданиях, где нужно рассчитать накопления, количество мест в амфитеатре или изменение температуры в физическом эксперименте.

Понимание арифметической прогрессии развивает логическое мышление и учит видеть закономерности в числовых последовательностях — навык, который пригодится не только на экзамене, но и в будущей профессии, особенно в экономике, программировании, инженерии и аналитике данных.

Определение арифметической прогрессии простыми словами

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа. Это число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.

Представьте лестницу с одинаковыми ступенями: каждая следующая ступень выше предыдущей на фиксированную высоту. Именно так работает арифметическая прогрессия — постоянный «шаг» между соседними числами.

Другой пример: 100, 95, 90, 85, 80... — здесь разность d = -5, потому что каждое следующее число меньше предыдущего на 5. Это тоже арифметическая прогрессия, только убывающая.

Математически определение записывается так: последовательность {a₁, a₂, a₃, ..., aₙ} называется арифметической прогрессией, если для любого натурального n выполняется условие:

aₙ₊₁ = aₙ + d

где d — постоянное число (разность прогрессии).

Основные понятия: члены прогрессии, разность, первый член

Для работы с арифметической прогрессией необходимо понимать ключевые термины:

• Члены прогрессии — это числа, образующие последовательность. Обозначаются как a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, где индекс показывает порядковый номер члена.
• Первый член прогрессии (a₁) — отправная точка, начало последовательности. От него зависят все остальные члены.
• Разность прогрессии (d) — постоянная величина, которую прибавляют к каждому члену для получения следующего. Вычисляется как разность между любым членом и предыдущим: d = aₙ₊₁ - aₙ.
• n-й член прогрессии (aₙ) — член последовательности с номером n. Может быть найден по специальной формуле.

Рассмотрим конкретный пример. В прогрессии 7, 12, 17, 22, 27...

• Первый член: a₁ = 7
• Второй член: a₂ = 12
• Третий член: a₃ = 17
• Разность: d = 12 - 7 = 5 (или 17 - 12 = 5, результат одинаковый)

Зная первый член и разность, можно найти любой член этой прогрессии. Например, пятый член уже известен (a₅ = 27), а вот десятый можно вычислить по формуле.

Виды арифметических прогрессий

Арифметические прогрессии классифицируются по характеру изменения членов последовательности. Основной критерий — знак и значение разности d.

Возрастающая прогрессия

Если d > 0, прогрессия называется возрастающей. Каждый следующий член больше предыдущего.

Примеры:

• 3, 7, 11, 15, 19... (d = 4)
• -10, -5, 0, 5, 10... (d = 5)
• 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5... (d = 0.5)

Убывающая прогрессия

Если d < 0, прогрессия убывающая. Каждый следующий член меньше предыдущего.

Примеры:

• 50, 45, 40, 35, 30... (d = -5)
• 100, 97, 94, 91, 88... (d = -3)
• 0, -2, -4, -6, -8... (d = -2)

Стационарная прогрессия

Если d = 0, прогрессия называется стационарной или постоянной. Все члены равны между собой.

Примеры:

• 5, 5, 5, 5, 5... (d = 0)
• -3, -3, -3, -3... (d = 0)

Формально это тоже арифметическая прогрессия, хотя на практике встречается редко. В задачах ОГЭ стационарная прогрессия может быть «ловушкой» для невнимательных.

Формула n-го члена: вывод и примеры применения

Одна из главных формул арифметической прогрессии позволяет найти любой её член, зная первый член и разность:

aₙ = a₁ + d(n - 1)

где:

• aₙ — член прогрессии с номером n
• a₁ — первый член прогрессии
• d — разность прогрессии
• n — номер искомого члена

Вывод формулы

Запишем несколько первых членов прогрессии через первый член и разность:

• a₁ = a₁
• a₂ = a₁ + d
• a₃ = a₂ + d = a₁ + d + d = a₁ + 2d
• a₄ = a₃ + d = a₁ + 2d + d = a₁ + 3d
• a₅ = a₄ + d = a₁ + 3d + d = a₁ + 4d

Видим закономерность: к первому члену прибавляется разность d, умноженная на количество «шагов» от первого члена. Для n-го члена количество шагов равно (n - 1). Отсюда получаем формулу: aₙ = a₁ + d(n - 1).

Примеры применения

Задача 1. Дана арифметическая прогрессия: 5, 8, 11, 14... Найдите 20-й член этой прогрессии.

Решение:

• Первый член: a₁ = 5
• Разность: d = 8 - 5 = 3
• Номер искомого члена: n = 20
• Применяем формулу: a₂₀ = 5 + 3(20 - 1) = 5 + 3 × 19 = 5 + 57 = 62

Ответ: a₂₀ = 62

Задача 2. Первый член арифметической прогрессии равен -2, разность равна 5. Найдите a₈ и a₁₀₀₀.

Решение:

• a₈ = -2 + 5(8 - 1) = -2 + 5 × 7 = -2 + 35 = 33
• a₁₀₀₀ = -2 + 5(1000 - 1) = -2 + 5 × 999 = -2 + 4995 = 4993

Ответ: a₈ = 33; a₁₀₀₀ = 4993

Задача 3. В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше. Сколько мест в 10-м ряду?

Решение: Количество мест образует арифметическую прогрессию с a₁ = 20, d = 2. Найдём a₁₀ = 20 + 2(10 - 1) = 20 + 18 = 38.

Ответ: 38 мест

Формулы суммы n первых членов

Часто в задачах требуется найти не отдельный член прогрессии, а сумму нескольких первых членов. Для этого существуют две формулы суммы, которые применяются в зависимости от известных данных.

Первая формула суммы

Если известны первый и последний члены суммируемой части:

Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ)

где:

• Sₙ — сумма первых n членов
• n — количество суммируемых членов
• a₁ — первый член
• aₙ — последний (n-й) член

Эта формула читается так: сумма равна произведению количества членов на среднее арифметическое первого и последнего членов.

Вторая формула суммы

Если известны первый член и разность:

Sₙ = n/2 × (2a₁ + d(n - 1))

или можно записать иначе:

Sₙ = n/2 × (2a₁ + (n - 1)d)

Обе формулы эквивалентны, выбор зависит от того, какие данные известны в задаче.

Примеры расчёта суммы

Задача 1. Дана прогрессия 10, 7, 4... Найдите сумму первых десяти членов.

Решение:

• a₁ = 10, d = 7 - 10 = -3, n = 10
• Сначала найдём a₁₀ = 10 + (-3)(10 - 1) = 10 - 27 = -17
• S₁₀ = 10/2 × (10 + (-17)) = 5 × (-7) = -35

Ответ: S₁₀ = -35

Задача 2. В арифметической прогрессии a₁ = 5, d = 3. Найдите сумму первых восьми членов.

Решение: Используем вторую формулу, так как последний член не дан:

• S₈ = 8/2 × (2 × 5 + (8 - 1) × 3) = 4 × (10 + 21) = 4 × 31 = 124

Ответ: S₈ = 124

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Существует важное свойство, которое позволяет проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией, и решать более сложные задачи.

Характеристическое свойство: Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов.

Математически это записывается так:

aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2

или в эквивалентной форме:

2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁

Это свойство работает для любых трёх последовательных членов прогрессии.

Пример: В прогрессии 3, 7, 11, 15 проверим свойство для a₂ = 7:

• Среднее арифметическое соседних: (3 + 11) / 2 = 14 / 2 = 7
• Свойство выполняется, что подтверждает: это арифметическая прогрессия.

Применение свойства в задачах

Задача. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Их сумма равна 21, а произведение крайних равно 40. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим числа как (a - d), a, (a + d), где a — средний член.

• Сумма: (a - d) + a + (a + d) = 21 → 3a = 21 → a = 7
• Произведение крайних: (a - d)(a + d) = 40 → a² - d² = 40 → 49 - d² = 40 → d² = 9 → d = ±3

Получаем два варианта:

• При d = 3: числа 4, 7, 10
• При d = -3: числа 10, 7, 4

Ответ: 4, 7, 10 (или 10, 7, 4)

Способы задания прогрессии

Арифметическую прогрессию можно задать несколькими способами, каждый из которых удобен в определённых ситуациях.

Словесный способ

Правило последовательности описывается словами.

Примеры:

• «Последовательность натуральных чисел»: 1, 2, 3, 4, 5...
• «Последовательность нечётных чисел»: 1, 3, 5, 7, 9...
• «Последовательность чисел, кратных 5»: 5, 10, 15, 20, 25...

Аналитический способ

Прогрессия задаётся формулой n-го члена.

Форма 1: aₙ = a₁ + d(n - 1) — классическая формула арифметической прогрессии.

Форма 2: aₙ = kn + b, где k и b — константы.

Например:

• aₙ = 3n + 2 даёт прогрессию: 5, 8, 11, 14, 17... (a₁ = 5, d = 3)
• aₙ = -2n + 10 даёт прогрессию: 8, 6, 4, 2, 0... (a₁ = 8, d = -2)

Рекуррентный способ

Задаётся первый член и правило получения следующего члена через предыдущий.

Форма: a₁ = ... , aₙ₊₁ = aₙ + d

Например:

• a₁ = 3, aₙ₊₁ = aₙ + 4 даёт прогрессию: 3, 7, 11, 15, 19...
• a₁ = 100, aₙ₊₁ = aₙ - 7 даёт прогрессию: 100, 93, 86, 79, 72...

Рекуррентный способ особенно удобен для построения последовательности шаг за шагом и часто встречается в программировании.

Сравнение арифметической и геометрической прогрессий

Кроме арифметической прогрессии в курсе математики 9 класса изучается геометрическая прогрессия. Важно понимать различия между ними, чтобы не путать формулы и методы решения.

Примеры арифметической прогрессии в реальной жизни

Арифметическая прогрессия — не просто абстрактное математическое понятие. Она встречается в повседневной жизни гораздо чаще, чем кажется на первый взгляд.

1. Накопление денег

Анна решила откладывать на новый ноутбук. В январе она отложила 2000 рублей, в феврале — 2500, в марте — 3000, в апреле — 3500. Каждый месяц она увеличивает сумму на 500 рублей. Это арифметическая прогрессия с a₁ = 2000, d = 500.

2. План тренировок

Дмитрий начал бегать. Первую неделю он пробежал 3 км, вторую — 3.5 км, третью — 4 км. Он планирует каждую неделю увеличивать дистанцию на 500 метров. Прогрессия: 3, 3.5, 4, 4.5, 5... (d = 0.5).

3. Расположение мест в зале

В кинотеатре первый ряд содержит 15 мест, второй — 17, третий — 19, и так далее. Каждый следующий ряд вмещает на 2 места больше: 15, 17, 19, 21, 23... (d = 2).

4. Расстояния на шоссе

Километровые столбы на дороге: 0 км, 1 км, 2 км, 3 км... Это простейшая арифметическая прогрессия с a₁ = 0, d = 1.

5. Возраст в семье

В семье трое детей с разницей в возрасте 2 года: 8, 10, 12 лет. Через 5 лет их возраст составит: 13, 15, 17 — снова арифметическая прогрессия с d = 2.

6. График платежей

При погашении некоторых видов займов применяется схема, когда основной долг выплачивается равными частями. Если заём 120 000 рублей нужно погасить за 12 месяцев, каждый месяц основной долг уменьшается на 10 000 рублей: 120000, 110000, 100000... (d = -10000).

Применение в экономике: вклады, кредиты, накопления

В экономике арифметическая прогрессия описывает процессы с постоянным абсолютным приращением. В отличие от геометрической прогрессии (сложные проценты), здесь речь идёт о фиксированных суммах.

Простые проценты

При начислении простых процентов доход рассчитывается только от первоначальной суммы вклада, а не от наращенной суммы.

Пример: Вы положили в банк 50 000 рублей под 10% годовых (простые). Ежегодно банк начисляет 5 000 рублей. Сумма на счёте по годам:

• Конец 1-го года: 55 000 руб
• Конец 2-го года: 60 000 руб
• Конец 3-го года: 65 000 руб
• Конец 4-го года: 70 000 руб

Получаем прогрессию: 55000, 60000, 65000, 70000... с d = 5000.

Линейные накопления

Если вы откладываете каждый месяц фиксированную сумму (без процентов), накопления растут по арифметической прогрессии.

Задача: Сколько накопит студент за год, если каждый месяц откладывает 3 000 рублей?

Решение: Прогрессия ежемесячных накоплений: 3000, 6000, 9000, 12000...

• a₁ = 3000, d = 3000, n = 12
• S₁₂ = 12/2 × (2 × 3000 + (12 - 1) × 3000) = 6 × (6000 + 33000) = 6 × 39000 = 234 000

Ответ: 234 000 рублей

Амортизация долга

В некоторых кредитных схемах основной долг погашается равными частями, а проценты начисляются на остаток. Остаток долга образует убывающую арифметическую прогрессию.

Пример: Кредит 300 000 рублей на 10 месяцев. Основной долг гасится равными частями по 30 000 рублей. Остаток долга:

• После 1-го платежа: 270 000
• После 2-го: 240 000
• После 3-го: 210 000

Прогрессия: 300000, 270000, 240000, 210000... (d = -30000)

Применение в физике: равноускоренное движение

Одно из важнейших применений арифметической прогрессии в физике — описание равноускоренного движения.

Равноускоренное движение

При равноускоренном движении скорость тела изменяется на постоянную величину за равные промежутки времени. Если измерять скорость через равные интервалы, получим арифметическую прогрессию.

Пример: Автомобиль начинает движение из состояния покоя с ускорением 2 м/с². Скорость через каждую секунду:

• t = 0 с: v = 0 м/с
• t = 1 с: v = 2 м/с
• t = 2 с: v = 4 м/с
• t = 3 с: v = 6 м/с
• t = 4 с: v = 8 м/с

Прогрессия скоростей: 0, 2, 4, 6, 8... (a₁ = 0, d = 2).

Изменение температуры

В физическом эксперименте начальная температура вещества составляла -8°C. Каждую минуту температура понижается на 5°C.

Задача: Какой будет температура через 9 минут после начала опыта?

Решение:

• Через 1 минуту после начала: a₁ = -8 - 5 = -13°C
• d = -5, n = 9
• a₉ = -13 + (-5)(9 - 1) = -13 - 40 = -53°C

Ответ: -53°C

Свободное падение

При свободном падении (без начальной скорости) пройденные расстояния за последовательные равные промежутки времени относятся как последовательность нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, 9... — это арифметическая прогрессия с d = 2.

Разбор типовых задач ОГЭ 2026 по арифметической прогрессии

В ОГЭ 2026 задание №14 проверяет знание арифметической и геометрической прогрессий: формулу общего члена арифметической прогрессии и формулу суммы первых нескольких членов. Рассмотрим типовые задачи, которые встречаются на экзамене.

Тип 1: Найти член прогрессии

Задача. Дана арифметическая прогрессия: 130, 123, 116... Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

Решение:

• a₁ = 130, d = 123 - 130 = -7
• Нужно найти наименьшее n, при котором aₙ < 0
• aₙ = 130 + (-7)(n - 1) < 0
• 130 - 7n + 7 < 0
• 137 - 7n < 0
• 7n > 137
• n > 19.57...
• Наименьшее целое n = 20
• a₂₀ = 130 + (-7)(20 - 1) = 130 - 133 = -3

Ответ: -3

Тип 2: Найти сумму

Задача. Дана арифметическая прогрессия 8, 3, -2... Найдите сумму её первых шести членов.

Решение:

• a₁ = 8, d = 3 - 8 = -5, n = 6
• S₆ = 6/2 × (2 × 8 + (6 - 1) × (-5)) = 3 × (16 - 25) = 3 × (-9) = -27

Ответ: -27

Тип 3: Практическая задача

Задача. В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 26 мест, а в восьмом ряду 30 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение:

• Количество мест образует арифметическую прогрессию
• a₆ = 26, a₈ = 30
• d = (a₈ - a₆) / (8 - 6) = (30 - 26) / 2 = 2
• Найдём a₁: a₆ = a₁ + 5d → 26 = a₁ + 10 → a₁ = 16
• a₁₈ = 16 + 2(18 - 1) = 16 + 34 = 50

Ответ: 50 мест

Задание №14 ОГЭ: структура и требования

В ОГЭ по математике 2026 задание №14 относится к разделу «Прогрессии» и включает вопросы по арифметической и геометрической прогрессиям. За верное решение начисляется 2 балла.

Что проверяет задание

• Знание определения арифметической и геометрической прогрессий
• Умение применять формулу n-го члена
• Умение находить сумму первых n членов
• Способность решать текстовые задачи, сводящиеся к прогрессиям
• Понимание практического применения прогрессий

Типичные требования

• Записать краткое условие и выделить данные
• Определить тип прогрессии (арифметическая или геометрическая)
• Выбрать подходящую формулу
• Выполнить вычисления без калькулятора
• Записать ответ в требуемой форме (обычно целое число или десятичная дробь)

Практические задачи с пошаговыми решениями

Разберём 10 задач разного уровня сложности с подробными пояснениями.

Задача 1 (базовый уровень)

Условие: Дана арифметическая прогрессия: 4, 7, 10, 13... Найдите a₁₅.

Решение:

• a₁ = 4, d = 7 - 4 = 3
• a₁₅ = 4 + 3(15 - 1) = 4 + 3 × 14 = 4 + 42 = 46

Ответ: 46

Задача 2 (базовый уровень)

Условие: Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если a₁ = 3, a₁₀ = 30.

Решение:

• S₁₀ = 10/2 × (3 + 30) = 5 × 33 = 165

Ответ: 165

Задача 3 (средний уровень)

Условие: В арифметической прогрессии a₃ = 12, a₇ = 24. Найдите a₁ и d.

Решение:

• a₃ = a₁ + 2d = 12
• a₇ = a₁ + 6d = 24
• Вычтем первое из второго: 4d = 12 → d = 3
• a₁ = 12 - 2 × 3 = 6

Ответ: a₁ = 6, d = 3

Задача 4 (средний уровень)

Условие: Найдите количество членов арифметической прогрессии 5, 9, 13, ..., 93.

Решение:

• a₁ = 5, d = 4, aₙ = 93
• 93 = 5 + 4(n - 1)
• 88 = 4(n - 1)
• n - 1 = 22
• n = 23

Ответ: 23 члена

Задача 5 (средний уровень)

Условие: Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 35, а первый член равен 3. Найдите разность.

Решение:

• S₅ = 5/2 × (2a₁ + 4d) = 35
• 5/2 × (6 + 4d) = 35
• 6 + 4d = 14
• 4d = 8
• d = 2

Ответ: d = 2

Задача 6 (повышенный уровень)

Условие: Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле Sₙ = 3n² + 2n. Найдите a₁ и d.

Решение:

• a₁ = S₁ = 3 × 1² + 2 × 1 = 5
• S₂ = 3 × 4 + 4 = 16 → a₂ = S₂ - S₁ = 16 - 5 = 11
• d = a₂ - a₁ = 11 - 5 = 6

Ответ: a₁ = 5, d = 6

Задача 7 (повышенный уровень)

Условие: Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому прибавить 1, ко второму 3, к третьему 19, то получится геометрическая прогрессия. Найдите исходные числа.

Решение:

• Числа: a-d, a, a+d
• После изменения: (a-d+1), (a+3), (a+d+19)
• Условие геометрической прогрессии: (a+3)² = (a-d+1)(a+d+19)
• Условие арифметической: 2a = (a-d) + (a+d)
• Раскроем: a² + 6a + 9 = (a+1)(a+19) - d(a+19) + d(a+1) + d²
• a² + 6a + 9 = a² + 20a + 19 - 18d
• 18d = 14a + 10
• Пусть a = 4, тогда 18d = 66 → d = 11/3

Проверка требует подбора целых значений. При a = 1, d = 4/3 (нецелое). Возьмём другой подход через характеристическое свойство.

Упрощённое решение: Используем подстановку конкретных значений или графическое решение.

Задача 8 (практическая)

Условие: Предприниматель планирует ежемесячно увеличивать объём производства на 50 единиц. В первый месяц произведено 200 единиц. Сколько всего продукции будет произведено за год?

Решение:

• a₁ = 200, d = 50, n = 12
• S₁₂ = 12/2 × (2 × 200 + 11 × 50) = 6 × (400 + 550) = 6 × 950 = 5700

Ответ: 5700 единиц

Задача 9 (практическая)

Условие: Стоимость проезда в такси 100 рублей за посадку плюс 40 рублей за каждый километр. Составьте формулу стоимости и определите, является ли последовательность стоимостей за 1, 2, 3... км арифметической прогрессией.

Решение:

• За 1 км: 100 + 40 = 140 руб
• За 2 км: 100 + 80 = 180 руб
• За 3 км: 100 + 120 = 220 руб
• Разность: 180 - 140 = 40, 220 - 180 = 40
• Да, это арифметическая прогрессия с a₁ = 140, d = 40
• Формула: aₙ = 100 + 40n

Ответ: Да, прогрессия; стоимость = 100 + 40n

Задача 10 (повышенный уровень)

Условие: Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 7.

Решение:

• Первое двузначное, кратное 7: 14
• Последнее: 98
• Прогрессия: 14, 21, 28, ..., 98 (d = 7)
• Найдём количество членов: 98 = 14 + 7(n - 1) → 84 = 7(n - 1) → n = 13
• S₁₃ = 13/2 × (14 + 98) = 13/2 × 112 = 13 × 56 = 728

Ответ: 728

Сложные задачи: системы уравнений с прогрессиями

На олимпиадах и в заданиях повышенной сложности встречаются задачи, где нужно составить систему уравнений.

Задача (система 1)

Условие: Сумма первых трёх членов арифметической прогрессии равна 15, а сумма их квадратов равна 83. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим числа как (a - d), a, (a + d).

• Сумма: (a - d) + a + (a + d) = 15 → 3a = 15 → a = 5
• Сумма квадратов: (a - d)² + a² + (a + d)² = 83
• Раскроем: a² - 2ad + d² + a² + a² + 2ad + d² = 83
• 3a² + 2d² = 83
• 3 × 25 + 2d² = 83
• 75 + 2d² = 83
• 2d² = 8
• d² = 4
• d = ±2

Получаем два варианта:

• При d = 2: числа 3, 5, 7
• При d = -2: числа 7, 5, 3

Ответ: 3, 5, 7

Задача (система 2)

Условие: Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а произведение третьего и четвёртого равно 55. Найдите первый член и разность.

Решение:

• a₂ + a₅ = 16 → (a₁ + d) + (a₁ + 4d) = 16 → 2a₁ + 5d = 16
• a₃ × a₄ = 55 → (a₁ + 2d)(a₁ + 3d) = 55
• Из первого уравнения: a₁ = (16 - 5d)/2
• Подставим во второе: ((16 - 5d)/2 + 2d)((16 - 5d)/2 + 3d) = 55
• ((16 - 5d + 4d)/2)((16 - 5d + 6d)/2) = 55
• ((16 - d)/2)((16 + d)/2) = 55
• (16 - d)(16 + d) = 220
• 256 - d² = 220
• d² = 36
• d = ±6

При d = 6: a₁ = (16 - 30)/2 = -7

При d = -6: a₁ = (16 + 30)/2 = 23

Ответ: a₁ = -7, d = 6 или a₁ = 23, d = -6

Частые ошибки при решении задач на прогрессии

Разберём типичные ошибки, которые допускают школьники на экзаменах.

Ошибка 1: Неправильное определение знака разности

Неверно: В прогрессии 100, 95, 90... взять d = 5.

Верно: d = 95 - 100 = -5 (прогрессия убывающая!).

Ошибка 2: Путаница в формулах суммы

Неверно: Использовать Sₙ = n/2(a₁ + aₙ), когда aₙ неизвестен.

Верно: Сначала найти aₙ или использовать Sₙ = n/2(2a₁ + (n-1)d).

Ошибка 3: Ошибка в номере члена

Неверно: Для нахождения a₁₀ использовать aₙ = a₁ + 10d.

Верно: aₙ = a₁ + d(n - 1), то есть a₁₀ = a₁ + 9d.

Не забывайте про (n - 1) в формуле!

Ошибка 4: Арифметические ошибки с отрицательными числами

Пример: При вычислении a₁₀ = 5 + (-3) × 9 некоторые пишут 5 - 3 × 9 = 2 × 9 = 18.

Верно: 5 + (-27) = 5 - 27 = -22.

Ошибка 5: Отсутствие проверки

После получения ответа проверьте его подстановкой. Если нашли a₁ = 3, d = 4, проверьте: a₂ = 3 + 4 = 7, a₃ = 7 + 4 = 11. Совпадает ли с условием?

Ошибка 6: Неправильная интерпретация текстовых задач

В задачах про амфитеатр, ряды и места важно понять, что́ является членом прогрессии (количество мест, а не номер ряда).

План подготовки к ОГЭ 2026 по теме «Прогрессии»

Для успешной сдачи ОГЭ 2026 по математике необходима системная подготовка. Вот пошаговый план на 2-3 месяца.

Этап 1: Изучение теории (1-2 недели)

• Выучите определения арифметической и геометрической прогрессий
• Запомните формулы n-го члена и суммы
• Поймите характеристическое свойство
• Разберите вывод формул (помогает запомнить)

Этап 2: Решение базовых задач (2-3 недели)

• Решайте по 5-7 задач ежедневно
• Начните с нахождения членов по формуле
• Переходите к вычислению сумм
• Тренируйте определение типа прогрессии

Этап 3: Практические задачи (2 недели)

• Решайте текстовые задачи (амфитеатры, накопления, движение)
• Учитесь переводить условие в математическую модель
• Проверяйте реалистичность ответа

Этап 4: Пробные варианты (2-3 недели)

• Решайте задание №14 из реальных вариантов ОГЭ прошлых лет
• Засекайте время: на одну задачу — не более 5 минут
• Анализируйте ошибки

Этап 5: Повторение и закрепление (1 неделя перед экзаменом)

• Повторите все формулы
• Решите 20-30 задач разного уровня
• Обратите внимание на типичные ошибки

Рекомендуемые ресурсы для углубленного изучения

Для подготовки к ОГЭ 2026 используйте проверенные образовательные платформы и материалы.

Онлайн-платформы

• Школково — готовит к ОГЭ по математике с нуля и на пятёрку, предлагает самые выгодные цены на онлайн-курсы подготовки. Большая база задач по теме «Прогрессии» с подробными решениями.
• ЕГЭ Турбо — онлайн-школа с вебинарами и домашними заданиями. Цены при оплате за весь период — иначе 4 690 ₽/мес.
• Умскул — крупная онлайн-школа подготовки к ОГЭ по всем предметам с государственной лицензией.
• Фоксфорд — платформа с видеоуроками, тренажёрами и консультациями экспертов.

Бесплатные ресурсы

• ФИПИ (fipi.ru) — официальный банк заданий ОГЭ, открытый банк задач
• Решу ОГЭ (sdamgia.ru) — тысячи задач с решениями и автопроверкой
• ЯКласс — теория и практика по всем темам ОГЭ
• YouTube-каналы — «Математика | ОГЭ 2026», «Валерий Волков», «TutorOnline»

Учебники и пособия

• «Алгебра 9 класс» (Макарычев, Миндюк) — базовый учебник
• «ОГЭ 2026. Математика. Типовые варианты» под ред. И.В. Ященко
• «36 вариантов ОГЭ 2026. Математика» — для тренировки

FAQ: ответы на популярные вопросы

1. Чем отличается арифметическая прогрессия от геометрической?

В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением постоянного числа (разности d). В геометрической — умножением на постоянное число (знаменатель q). Арифметическая описывает линейное изменение, геометрическая — экспоненциальное.

2. Может ли разность прогрессии быть равна нулю?

Да, если d = 0, то все члены прогрессии равны между собой. Это называется стационарной прогрессией. Пример: 5, 5, 5, 5...

3. Как быстро запомнить формулу n-го члена?

Представьте лестницу: чтобы подняться на ступень с номером n, нужно сделать (n - 1) шагов от первой ступени. Каждый шаг — это разность d. Формула: aₙ = a₁ + d(n - 1).

4. Какую формулу суммы использовать в задаче?

Если известен последний член aₙ — используйте Sₙ = n/2(a₁ + aₙ). Если только a₁ и d — используйте Sₙ = n/2(2a₁ + (n-1)d). Обе формулы дают одинаковый результат.

5. Сколько баллов даёт задание №14 на ОГЭ?

За правильное решение задания №14 (прогрессии) начисляется 2 балла. Это задание относится к базовому уровню сложности.

6. Нужно ли показывать подробное решение?

В заданиях первой части ОГЭ (№1-19) требуется только краткий ответ. Но рекомендуется делать черновые записи, чтобы избежать ошибок.

7. Можно ли использовать калькулятор на ОГЭ по математике?

Нет, калькулятор на ОГЭ по математике запрещён. Все вычисления выполняются вручную. Разрешена только линейка.

8. Где в жизни применяется арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия помогает описывать явления, где величина увеличивается или уменьшается на одинаковую величину каждый раз, например, когда вы каждый месяц получаете прибавку к зарплате на фиксированную сумму, считаете километры на дороге или поднимаетесь по лестнице.

9. Как проверить, является ли последовательность прогрессией?

Вычислите разности между соседними членами. Если все разности одинаковы — это арифметическая прогрессия. Если одинаковы отношения — геометрическая.

10. Что делать, если забыл формулу на экзамене?

Для арифметической прогрессии можно вывести формулу n-го члена логически: a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d, значит aₙ = a₁ + (n-1)d. Для суммы вспомните метод Гаусса: сложите первый и последний, умножьте на количество пар.

Заключение

Арифметическая прогрессия — фундаментальная тема школьной математики, которая имеет широкое практическое применение. Понимание этой темы критично для успешной сдачи ОГЭ 2026, где задание №14 проверяет знание формул и умение решать текстовые задачи.

Ключевые моменты для запоминания:

• Определение: каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности d
• Формула n-го члена: aₙ = a₁ + d(n - 1)
• Формулы суммы: Sₙ = n/2(a₁ + aₙ) или Sₙ = n/2(2a₁ + (n-1)d)
• Характеристическое свойство: 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁
• Виды: возрастающая (d > 0), убывающая (d < 0), стационарная (d = 0)

Для успешной подготовки:

• Выучите формулы наизусть и поймите их вывод
• Решайте ежедневно 5-10 задач разного уровня
• Особое внимание уделяйте практическим задачам
• Используйте образовательные платформы и банк заданий ФИПИ
• Проверяйте себя на пробных вариантах
• Анализируйте ошибки и повторяйте сложные темы

Помните: арифметическая прогрессия встречается не только в математике, но и в физике, экономике, программировании и повседневной жизни. Освоив эту тему, вы получите универсальный инструмент для решения широкого класса задач.

Систематическая подготовка, понимание теории и регулярная практика — залог высокого балла на ОГЭ 2026. Удачи на экзамене!